Question

4．如圖甲，已知任意四邊形ABCD，且線段AB，BC，CD，DA，AC，BD的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，G，H，P，Q，順次連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH，順次連接EQ，QG，GP，PE，得到四邊形PEQG．
（1）判斷四邊形EFGH，PEQG的形狀，并證明；
（2）若四邊形ABCD如圖乙所示，請(qǐng)你判斷（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的中位線定理，得GH∥EF∥AC，GH=EF=$\frac{1}{2}$AC，所以得到的是平行四邊形；根據(jù)三角形的中位線定理，得GP∥EQ∥AD，GP=EQ=$\frac{1}{2}$AD，所以得到的是平行四邊形．
（2）類似于（1）中的2個(gè)結(jié)論都成立：根據(jù)三角形的中位線定理，得GH∥EF∥AC，GH=EF=$\frac{1}{2}$AC，所以得到的是平行四邊形；根據(jù)三角形的中位線定理，得GP∥EQ∥AD，GP=EQ=$\frac{1}{2}$AD，所以得到的是平行四邊形．

解答 解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形．理由如下：
∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC．
同理，得HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

四邊形PEQG是平行四邊形．理由如下：
∵G、P分別是CD、AC的中點(diǎn)，
∴GP∥AD，GP=$\frac{1}{2}$AD．
同理，得QE∥AD，QE=$\frac{1}{2}$AD，
∴GP∥QE，GP=QE，
∴四邊形PEQG是平行四邊形．

（2）（1）中的兩個(gè)結(jié)論都成立．
四邊形EFGH是平行四邊形．理由如下：
∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC．
同理，得HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
如圖乙，順次連接EQ，QG，GP，PE，得到四邊形PEQG．
四邊形PEQG是平行四邊形．理由如下：
∵G、P分別是CD、AC的中點(diǎn)，
∴GP∥AD，GP=$\frac{1}{2}$AD．
同理，得QE∥AD，QE=$\frac{1}{2}$AD，
∴GP∥QE，GP=QE，
∴四邊形PEQG是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 主要考查了平行四邊形的判定和三角形的中位線定理．
數(shù)量關(guān)系：三角形的中位線等于第三邊一半．位置關(guān)系：三角形中位線平行于第三邊．
總結(jié)：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形．