Question

17．雙曲線$y=\frac{k}{x}（k＞0）$，點A（m，n）（m＞0）在此雙曲線上，過點A作AB垂直y軸交y軸于點B，點C在線段AB上，過點C作直線CD⊥x軸于點D，交此雙曲線于點P．直線PA交y軸于點E．
（1）若P（1，3），PC=2，求m的值；
（2）若AC=CP=2，且△POE的面積是2n，求此雙曲線的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求得C的坐標，進而求得A的縱坐標n的值，把P的坐標代入$y=\frac{k}{x}（k＞0）$，利用待定系數(shù)法即可求得解析式，把A（m，1）代入求得的解析式即可求得m的值；
（2）求出P、C的坐標，求出直線AP的解析式，求出E的坐標，根據(jù)三角形面積得出關于n的方程，求出n的值，即可得出答案．

解答 解：（1）∵A（m，n），P（1，3），PC=2，
∴C（1，1），
∵AB⊥y軸，
∴A的縱坐標為1，
∴n=1，
∵P在雙曲線上，
∴k=1×3=3，
∵A在雙曲線上，
∴m×1=k=3，
∴m=3；

（2）∵A（m，n），
∴C（m-2，n），P（m-2，n+2），
∵A在雙曲線上，
∴mn=k，
∵P在雙曲線上，
∴（m-2）（n+2）=k，
∴mn+2m-2n-4=k，
∴m=n+2，
∴直線AP的解析式是y-n=-x+n+2，
當x=0時，y=2n+2，
∴E的坐標是（0，2n+2），
∵△OPE的面積是2n，
∴$\frac{1}{2}$（2n+2）（n+2-2）=2n，
解得：n=1，n=0（舍去），
∴m=3，
∴k=mn=3，
即此雙曲線的解析式是y=$\frac{3}{x}$．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形面積的應用，主要考查學生的計算能力，題目是一道比較典型的題目，難度適中．