Question

9．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點．
（1）當a=1，b=3，c=2時，求A、B兩點及拋物線的頂點的坐標；
（2）若a：b：c=1：3：2時，A、B兩點的坐標及拋物線的頂點的坐標是否發(fā)生變化？若不變，求出坐標，若變化，說明理由．
（3）當b=3，c=2時，若拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點中有且僅有一個在原點和點（1，0）之間（不含這兩個點），則a的取值范圍是a＜-5．

Answer 1

分析 （1）把a=1，b=3，c=2代入拋物線解析式，令y=0，求出A、B兩點坐標，再把拋物線一般式化為頂點坐標式，即可求出頂點坐標；
（2）根據(jù)a：b：c=1：3：2，設a=k，b=3k，c=2k，令y=kx²+3kx+2k=k（x²+3x+2）=0，即可求出A、B兩點坐標，發(fā)現(xiàn)頂點坐標發(fā)生變化；
（3）由b²-4ac＞0，可知a＜$\frac{9}{8}$，分析0＜a＜$\frac{9}{8}$，a＜0，由與x軸的交點中有且僅有一個在原點和點（1，0）之間（不含這兩個點），可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1，b=3，c=2時，y=x²+3x+2，
令y=x²+3x+2=0，
解得x=-1或x=-2，
即A、B兩點為（-1，0）、（-2，0），
∵y=x²+3x+2=（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線頂點坐標為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$）；
（2）若a：b：c=1：3：2，設a=k，b=3k，c=2k，
則y=kx²+3kx+2k=k（x²+3x+2）
令y=kx²+3kx+2k=k（x²+3x+2）=0，
解得x=-1或x=-2，
即A、B兩點為（-1，0）、（-2，0），
y=k（x²+3x+2）=k[（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$]，
∴拋物線頂點坐標為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$k）；
∴A、B兩點的坐標不發(fā)生變化，頂點坐標發(fā)生變化；
（3）a＜-5，
當b=3，c=2時，y=ax²+3x+2，
∵b²-4ac＞0，
∴9-8a＞0，
解得：a＜$\frac{9}{8}$，
∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點中有且僅有一個在原點和點（1，0）之間（不含這兩個點），
若0＜a＜$\frac{9}{8}$，拋物線與x軸交點均在x軸的負半軸上，與題意不符，
若a＜0，當x=1時，y＜0，即a+3+2＜0，
∴a＜-5．
故答案為：a＜-5．

點評 本題主要考查了拋物線與x軸交點，解答本題的關鍵是熟練掌握把拋物線一般式化成頂點坐標式，明確二次函數(shù)與一元二次方程的關系．