Question

11．已知甲同學手中藏有三張分別標有數(shù)字$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、1的卡片，乙同學手中藏有三張分別標有數(shù)字1、3、2的卡片，卡片外形相同．現(xiàn)從甲乙兩人手中各任取一張卡片，并將它們的數(shù)字分別記為a，b．
（1）請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結(jié)果；
（2）現(xiàn)制定一個游戲規(guī)則：若所選出的a，b能使得ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則甲獲勝；否則乙獲勝．請問這樣的游戲規(guī)則公平嗎？請用概率知識解釋．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果；
（2）利用一元二次方程根的判別式，即可判定各種情況下根的情況，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙獲勝的概率，比較概率大小，即可確定這樣的游戲規(guī)是否公平．

解答 解：（1）畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有9種等可能的結(jié)果；

（2）∵（a，b）的可能結(jié)果有（$\frac{1}{2}$，1）、（$\frac{1}{2}$，3）、（$\frac{1}{2}$，2）、（$\frac{1}{4}$，1）、（$\frac{1}{4}$，3）、（$\frac{1}{4}$，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2），
∴當a=$\frac{1}{2}$，b=1時，△=b²-4ac=-1＜0，此時ax²+bx+1=0無實數(shù)根，
當a=$\frac{1}{2}$，b=3時，△=b²-4ac=7＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
當a=$\frac{1}{2}$，b=2時，△=b²-4ac=2＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
當a=$\frac{1}{4}$，b=1時，△=b²-4ac=0，此時ax²+bx+1=0有兩個相等的實數(shù)根，
當a=$\frac{1}{4}$，b=3時，△=b²-4ac=8＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
當a=$\frac{1}{4}$，b=2時，△=b²-4ac=3＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
當a=1，b=1時，△=b²-4ac=-3＜0，此時ax²+bx+1=0無實數(shù)根，
當a=1，b=3時，△=b²-4ac=5＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
當a=1，b=2時，△=b²-4ac=0，此時ax²+bx+1=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴P（甲獲勝）=P（△＞0）=$\frac{5}{9}$，P（乙獲勝）=1-$\frac{5}{9}$=$\frac{4}{9}$，
∴P（甲獲勝）＞P（乙獲勝），
∴這樣的游戲規(guī)則對甲有利，不公平．

點評 本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．