Question

10．如圖，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C，D為圓上兩點(diǎn)，連接AC，BC，過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)D作⊙O的切線交FC的延長線于點(diǎn)E，連接AD交CF于點(diǎn)G．
（1）求證：EG=ED．
（2）若點(diǎn)F為AO中點(diǎn)，連接CD，求∠CDA的度數(shù)．
（3）在（2）條件下，已知EF=15，GD=10，sin∠DAB=$\frac{5}{13}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）證明∠OAD=∠ODA，再由∠ODA+∠EDG=90°，∠FGA+∠OAD=∠EGD+∠OAD=90°，根據(jù)等角的余角相等可得：∠EGD=∠EDG，則EG=ED；
（2））連接OC先證明∠FCO=30°，可得△AOC是等邊三角形，最后利用同弧所對的圓周角相等可是結(jié)論；
（3）過E作EM⊥D于M，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得：GM=MD=$\frac{1}{2}$GD=5，利用三角形的內(nèi)角和定理得：∠BAD=∠GEM，由等角的三角函數(shù)列式得：AG=$\frac{26}{5}$，利用勾股定理得：AF的長，從而得半徑是$\frac{48}{5}$．

解答 證明：（1）連接OD，
∵ED是⊙O的切線，
∴OD⊥ED，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ODA+∠EDG=90°，∠FGA+∠OAD=∠EGD+∠OAD=90°，
∴∠EGD=∠EDG；
∴EG=ED；
（2）連接OC，
∵F是OA的中點(diǎn)，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OC，
∵EF⊥AB，
∴△CFO是直角三角形，
∴∠FCO=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠CAB=60°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠CDA=∠ABC=30°；
（3）過E作EM⊥GD于M，
∵EG=ED，
∴GM=MD=$\frac{1}{2}$GD=5，
∵∠EGD=∠FGA，∠EMG=∠AFG=90°，
∴∠BAD=∠GEM，
∴sin∠BAD=sin∠GEM=$\frac{5}{13}$=$\frac{FG}{AG}$=$\frac{GM}{EG}$，
∴EG=13，
∴GF=15-13=2，
∴$\frac{2}{AG}=\frac{5}{13}$，
∴AG=$\frac{26}{5}$，
由勾股定理得：AF=$\sqrt{（\frac{26}{5}）^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
∴OA=2AF=$\frac{48}{5}$，
∴⊙O的半徑是$\frac{48}{5}$．

點(diǎn)評 此題是圓的綜合題，其中涉及到切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形三線合一，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解決本題的關(guān)鍵．