Question

1．如圖：AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，
（1）圖中EC、BF有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論．
（2）連接AM，求證：MA平分∠EMF．

Answer 1

分析 （1）先由條件可以得出∠EAC=∠BAE，再證明△EAC≌△BAF就可以得出結(jié)論；
（2）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP=AQ（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；

解答 （1）解：結(jié)論：EC=BF，EC⊥BF．
理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB=∠CAF=90°，
∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC=∠BAE．
在△EAC和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAE}\\{AF=AC}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC=BF．∠AEC=∠ABF
∵∠AEG+∠AGE=90°，∠AGE=∠BGM，
∴∠ABF+∠BGM=90°，
∴∠EMB=90°，
∴EC⊥BF．
∴EC=BF，EC⊥BF．

（2）證明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．
∵△EAC≌△BAF，
∴AP=AQ（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的判定定理、垂直的判定的運(yùn)用等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考�？碱}型．