Question

已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以O(shè)A，OC所在的直線為坐標(biāo)軸，建立如圖1的平面直角坐標(biāo)系．將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到矩形ODEF，當(dāng)點(diǎn)B在直線DE上時(shí)，設(shè)直線DE和x軸交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q．

（1）求證：△BCQ≌△ODQ；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若將矩形OABC向右平移（圖2），得到矩形ABCG，設(shè)矩形ABCG與矩形ODEF重疊部分的面積為S，OG=x，請直接寫出x≤3時(shí)，S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并且寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；
（2）根據(jù)全等得出CQ=DQ，在Rt△ODQ中由勾股定理得出OQ²=（6-OQ）²+3²，求出OQ=

15

4

，DQ=

9

4

，得出Q的坐標(biāo)是（0，

15

4

），求出直線BD的解析式，即可得出答案；
（3）過D作DM⊥OP于M，求出OM、DM，分為兩種情況：畫出圖形，求出GN，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

解答：（1）證明：∵四邊形OABC和四邊形ODEF是矩形，
∴∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，
∵在△BCQ和△ODQ中

∠BCQ=∠ODQ ∠CQB=∠DQO BC=OD

∴△BCQ≌△ODQ；
，
（2）解：∵△BCQ≌△ODQ，
∴CQ=DQ，
在Rt△ODQ中，∠ODQ=90°，OD=3，由勾股定理得：OQ²=OD²+DQ²，
則OQ²=（6-OQ）²+3²，
解得：OQ=

15

4

，DQ=

9

4

，
即Q的坐標(biāo)是（0，

15

4

），
∵矩形ABCO的邊AB=6，OA=3，
∴B的坐標(biāo)是（-3，6），
設(shè)直線BD的解析式是y=kx+

15

4

，
把B的坐標(biāo)代入得：k=-

3

4

，
即直線BD的解析式是y=-

3

4

x+

15

4

，
把y=0代入得：-

3

4

x+

15

4

=0，
解得：x=5，
即P的坐標(biāo)是（5，0）；

（3）解：
過D作DM⊥OP于M，如圖1，
∵∠DMO=∠ODQ=90°，OQ∥DM，
∴∠QOD=∠MDO，
∴△QDO∽△OMD，
∴

OQ

OD

=

QD

OM

=

OD

DM

，
∴

15 4

3

=

9 4

OM

=

3

DM

，
即得：OM=

9

5

，DM=

12

5

，
OG=x，x≤3，
分為兩種情況：①如圖2，當(dāng)0≤x≤

9

5

時(shí)，
∵DM=

12

5

，OM=

9

5

，OG=x，CG∥DM，
∴△ONG∽△ODM，
∴

12 5

9 5

=

NG

x

，
NG=

4

3

x，
∴S=

1

2

×OG×GN=

1

2

•x•

4

3

x，
S=

2

3

x²；
②如圖3，當(dāng)

9

5

＜x≤3時(shí)，
在Rt△ODP中，由勾股定理得：PD=

52-32

=4，
∵DM=

12

5

，OM=

9

5

，
∴PM=5-

9

5

=

16

5

，
∵OG=x，CG∥DM，
∴△PGN∽△PMD，
∴

12 5

16 5

=

NG

5-x

，
∴NG=

3

4

（5-x），
∴S=S_△ADP-S_△PGN=

1

2

×3×4-

1

2

•（5-x）•

3

4

（5-x），
S=-

3

8

x²+

15

4

x-

27

8

，

即S和x的函數(shù)關(guān)系式是S=

2

3

x²（0≤x≤

9

5

）和S=-

3

8

x²+

15

4

x-

27

8

（

9

5

＜x≤3）．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的面積，矩形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要要進(jìn)行分類討論，題目是一道比較典型的題目，有一定的難度．