Question

2．已知關(guān)于x的一元二次方程（n+1）（n+2）x²+x-n（n+3）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別a_n，b_n（n∈N₊），則a₁a₂…a₂₀₀₉•b₁b₂…b₂₀₀₉的值是-$\frac{1006}{3015}$．

Answer 1

分析 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出a_n•b_n=-$\frac{n（n+3）}{（n+1）（n+2）}$，再把相應(yīng)的值代入，然后進(jìn)行約分即可．

解答 解：∵關(guān)于x的一元二次方程（n+1）（n+2）x²+x-n（n+3）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別a_n，b_n（n∈N₊），
∴a_n•b_n=-$\frac{n（n+3）}{（n+1）（n+2）}$，
∴a₁a₂…a₂₀₀₉•b₁b₂…b₂₀₀₉=a₁b₁a₂b₂…a₂₀₀₉b₂₀₀₉=-$\frac{1×4}{2×3}$×$\frac{2×5}{3×4}$×$\frac{3×6}{4×5}$…×$\frac{2009×2012}{2010×2011}$=-$\frac{1006}{3015}$；
故答案為：-$\frac{1006}{3015}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，得出a_nb_n=-$\frac{n（n+3）}{（n+1）（n+2）}$．