Question

13．探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，
（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；
（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：
①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，∠A=40°，則∠ABX+∠ACX=50°；
②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；
③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G₁、G₂…、G₉，若∠BDC=133°，∠BG₁C=70°，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）首先連接AD并延長至點F，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC=∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根據(jù)∠A=40°，∠BXC=90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．
②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE=40°，∠DBE=130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據(jù)∠DCE=$\frac{1}{2}$（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度數(shù)是多少即可．
③根據(jù)∠BG₁C=$\frac{1}{10}$（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG₁C=70°，設(shè)∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD=133°-x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠A的度數(shù)是多少．

解答 解：（1）如圖（1），連接AD并延長至點F，
，
根據(jù)外角的性質(zhì)，可得
∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
∵∠A=40°，∠BXC=90°，
∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°，
故答案為：50．

②由（1），可得
∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，
∴$\frac{1}{2}$（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$（∠ADB+∠AEB）+∠DAE
=45°+40°
=85°；

③∠BG₁C=$\frac{1}{10}$（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG₁C=70°，
∴設(shè)∠A為x°，
∵∠ABD+∠ACD=133°-x°
∴$\frac{1}{10}$（133-x）+x=70，
∴13.3-$\frac{1}{10}$x+x=70，
解得x=63，
即∠A的度數(shù)為63°．

點評 此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．