Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的切線，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，0D⊥BC于點(diǎn)F交⊙O于點(diǎn)E，連接AE、C′E．
（I）求證：∠ODB=∠AEC；
（2）若⊙O的半徑為4，sinA=$\frac{3}{4}$，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠ABD=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ODB=∠OBF，等量代換即可得到結(jié)；
（2）連接BE，由AB是⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，等量代換得到∠EBF=∠A，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BE=6，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的切線，
∴∠ABD=90°，
∵0D⊥BC，
∴∠OFB=90°，
∴∠OBF+∠BOF=∠BOF+∠D=90°，
∴∠ODB=∠OBF，
∵∠OBF=∠AEC，
∴∠ODB=∠AEC；

（2）連接BE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，
∵OB=OE，
∴∠ABE=∠OEB，
∵∠FBE+∠BEF=90°，
∴∠EBF=∠A，
∵⊙O的半徑為4，
∴AB=8，
∵sinA=$\frac{3}{4}$，
∴BE=6，
∵sin∠EBF=sinA=$\frac{3}{4}$，
∴EF=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，圓周角定理，連接BE構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．