Question

11．已知：如圖，AE平分∠BAC，∠BAC=2∠B，AB=2AC．求證：（1）∠C=90°；（2）AE=2CE．

Answer 1

分析 （1）過E作EF⊥AB于F，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，求得∠B=∠BAE，根據(jù)等腰三角形的判定得到BE=AE，推出AB=2AF，等量代換得到AC=AF，推出△AEF≌△ACE，由全等三角形的性質(zhì)得到∠C=∠AFE，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和和已知條件得到∠B=30°，證得∠BAC=60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）過E作EF⊥AB于F，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠BAE，
∴BE=AE，
∴AB=2AF，
∵AB=2AC，
∴AC=AF，
在△AEF與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠EAC}\\{AE=AE}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ACE，
∴∠C=∠AFE，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠C=90°；

（2）∵∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B+2∠B=90°，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴$∠CAE=\frac{1}{2}∠$BAC=30°，
∴AE=2CE．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．