Question

2．有一矩形紙片ABCD，其中AB=2，以AD為直徑的半圓正好與對邊BC相切，將矩形紙片ABCD沿DE折疊，使點A落在BC上，如圖2，則半圓露在外面的部分（陰影部分）的面積為$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖，露在外面部分的面積可用扇形ODK與△ODK的面積差來求得，在Rt△A′DC中，可根據AD即圓的直徑和CD即圓的半徑長，求出∠DA′C的度數(shù)，進而得出∠ODH和∠DOK的度數(shù)，即可求得△ODK和扇形ODK的面積，由此可求得陰影部分的面積．

解答 解：作OH⊥DK于H，連接OK，
∵AB=2，
∴AD=A′D=4，CD=2，
∵以AD為直徑的半圓，正好與對邊BC相切，

∴AD=2CD，
∴A'D=2CD，
∵∠C=90°，
∴∠DA'C=30°，
∴∠ODH=30°，
∴∠DOH=60°，
∴∠DOK=120°，
∴扇形ODK的面積為$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π，
∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=2，
∴OH=1，DH=$\sqrt{3}$cm；
∴DK=2$\sqrt{3}$cm，
∴△ODK的面積為$\sqrt{3}$，
∴半圓還露在外面的部分（陰影部分）的面積是：$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了折疊問題，圓的切線的性質，矩形的性質，掌握直角三角形中，如果有一條直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30度是解決問題的關鍵．