Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在BA的延長線上，直線CD與8O相切于點D，弦DF⊥AB于點E，線段CD=10，連接BD；
（1）求證：∠CDE=2∠B；
（2）若cos∠B=

3

2

，求8O的半徑及DF的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ODC=90°，即∠CDE+∠ODE=90°，則可利用等角的余角相等得到∠DOE=∠CDE，加上∠B=∠ODB，于是可根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DOE=2∠B，所以∠CDE=2∠B；
（2）在Rt△BDE中，由于cosB=

3

2

，則∠B=30°，所以DE=

1

2

BD=5，∠DOE=60°，由垂徑定理得DE=FE，所以DF=2DE=10，然后在Rt△DOE中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出OD=

10 3

3

．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵直線CD與⊙O相切于點D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
即∠CDE+∠ODE=90°，
∵DF⊥AB，
∴∠DOE+∠ODE=90°，
∴∠DOE=∠CDE，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠DOE=∠B+∠ODB=2∠B，
∴∠CDE=2∠B；
（2）解：在Rt△BDE中，∵cosB=

3

2

，
∴∠B=30°，
∴DE=

1

2

BD=5，∠DOE=60°，
∵DF⊥AB，
∴DE=FE，
∴DF=2DE=10，
在Rt△DOE中，∵∠ODE=30°，
∴OE=

3

3

DE=

5 3

3

，
∴OD=2OE=

10 3

3

，
即⊙O的半徑為

10 3

3

，DF的長為10．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了特殊角的三角函數(shù)值和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．