Question

19．如圖1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，M、N、G、H分別為AE、AB、BD、DE的中點(diǎn)．

（1）判斷四邊形MNGH的形狀，并予以證明；
（2）將圖1中的△CDE旋轉(zhuǎn)至圖2，則（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）連接AD，BE，因?yàn)镸．N．G．H分別為AE，AB，BD，DE中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)，得到四邊形MNGH為平行四邊形，通過(guò)證明△ACD≌△BCE（SAS），得到AD=BE，所以GH=MH，所以四邊形MNGH為菱形，再通過(guò)證明得到∠NMH=90°，所以四邊形MNGH為正方形；
（2）成立；利用（1）的方法證明，即可解答．

解答 （1）證明：如圖1，連接AD，BE，
∵M(jìn)．N．G．H分別為AE，AB，BD，DE中點(diǎn)
∴NG∥AD，NG=$\frac{1}{2}$AD，MH∥AD MH=$\frac{1}{2}$AD，GH∥BE，GH=$\frac{1}{2}$BE，
∴NG∥MH，NG=MH，
∴四邊形MNGH為平行四邊形，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACB=∠DCE=9{0}^{°}}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠EBC=∠CAD，
∴GH=MH，
∴四邊形MNGH為菱形，
∵M(jìn)H∥AD，
∴∠HME=∠CAD，
∴∠EBC=∠HME，
∵NM∥BE，
∴∠BEC=∠NMC，
∵∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠HME+∠NMC=90°，
即∠NMH=90°，
∴四邊形MNGH為正方形；

（2）成立，如圖2，連接AD，BE，
∵M(jìn)．N．G．H分別為AE，AB，BD，DE中點(diǎn)
∴NG∥AD，NG=$\frac{1}{2}$AD，MH∥AD MH=$\frac{1}{2}$AD，GH∥BE，GH=$\frac{1}{2}$BE，
∴NG∥MH，NG=MH，
∴四邊形MNGH為平行四邊形，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠BCE+∠ECA=90°，∠ACD+∠ECA=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{EC=ED}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠EBC=∠CAD，
∴GH=MH，
∴四邊形MNGH為菱形，
延長(zhǎng)BE交AD于K，交AC于O，
∵∠OBC+∠BOC=90°，∠BOC=∠AOK，∠CAD=∠CBE，
∴∠AOK+∠OAK=90°，
∴∠AKO=90°，即AK⊥AD，
∵NG∥AD，GH∥BK，
∴GN⊥GH，
∴∠NGH=90°，
∴四邊形MNGH為正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形、菱形、正方形的判定及三角形中位線定理，解決本題的關(guān)鍵是首先利用三角形中位線定理判斷出平行四邊形．