Question

16．已知二次函數(shù)y=mx²-nx+n-2（n＞0，m≠0）的圖象經(jīng)過(guò)A（2，0）．
（1）用含n的代數(shù)式表示m；
（2）求證：二次函數(shù)y=mx²-nx+n-2的圖象與x軸始終有2個(gè)交點(diǎn)；
（3）設(shè)二次函數(shù)y=mx²-nx+n-2的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（t，0）．
①當(dāng)n取n₁，n₂時(shí)，t 分別為t₁，t₂，若n₁＜n₂，試判斷t₁，t₂的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
②若t為整數(shù)，求整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）把A（2，0）代入y=mx²-nx+n-2，即可用含n的代數(shù)式表示m；
（2）只需證明△=（-n）²-4m（n-2）＞0即可；
（3）①根據(jù)題意用含n的代數(shù)式表示t，可得t₁-t₂=$\frac{2{n}_{1}-4}{{n}_{1}+2}$-$\frac{2{n}_{2}-4}{{n}_{2}+2}$=$\frac{8（{n}_{1}-{n}_{2}）}{（{n}_{1}+2）（{n}_{2}+2）}$，依此可得t₁-t₂＜0，從而求解；
②t=$\frac{2n-4}{n+2}$=2-$\frac{8}{n+2}$，因?yàn)閠為整數(shù)且n＞0，可得n+2＞2，得到n+2=4或n+2=8，解方程即可求解．

解答 解：（1）把A（2，0）代入y=mx²-nx+n-2，得4m-2n+n-2=0，m=$\frac{n+2}{4}$；
（2）∵△=（-n）²-4m（n-2）=n²-4×$\frac{n+2}{4}$×（n-2）=n²-n²+4=4＞0，
∴二次函數(shù)y=mx²-nx+n-2的圖象與x軸始終有2個(gè)交點(diǎn)；
（3）①依題意可知t=$\frac{2n-4}{n+2}$；
所以t₁-t₂=$\frac{2{n}_{1}-4}{{n}_{1}+2}$-$\frac{2{n}_{2}-4}{{n}_{2}+2}$=$\frac{8（{n}_{1}-{n}_{2}）}{（{n}_{1}+2）（{n}_{2}+2）}$，
因?yàn)閚₁＜n₂，所以n₁-n₂＜0，
又因?yàn)閚＞0，
所以n₁+2＞0，n₂+2＞0，
所以t₁-t₂＜0，
所以t₁＜t₂；
②t=$\frac{2n-4}{n+2}$=2-$\frac{8}{n+2}$，
因?yàn)閠為整數(shù)且n＞0，
所以n+2＞2，
所以n+2=4或n+2=8
所以n=2或n=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)根的判別式△＞0證明拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．