Question

8．已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，按下列要求重疊，試求出所要求的結(jié)果．
（1）如圖（a），把矩形ABCD沿對角線BD折疊得△EBD、BE交CD于點F，求DF的長；
（2）如圖（b），折疊矩形ABCD，使AD與對角線BD重合，求折痕DE的長．
（3）如圖（c），折疊矩形ABCD，使點B與點D重合，求折痕EF的長．
（4）如圖（d），若AB的長為5，BC=3，E為AD上一點，把矩形ABCD沿BE折疊，若點A恰好落在CD上點F處，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）先由折疊得出DE=AD=BD，進而判斷出△DEF≌△BCF，即可得出EF=FC，再根據(jù)勾股定理即可求出DF；
（2）先根據(jù)勾股定理求出BD，再由同角的三角函數(shù)建立方程即可求出AE，最后用勾股定理即可；
（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論；
（4）先求根據(jù)勾股定理求出CF，即可得出DF，最后用勾股定理建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，AD=BC=3，∠A=∠C=90°，
由折疊知，DE=AD=BC=3，∠E=∠A=90°，
∴∠E=∠C=90°，
在△DEF和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠BFC}\\{∠E=∠C}\\{DE=BC}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△BCF，
∴EF=FC=CD-DF=4-DF，
在Rt△DEF中，DE=3，根據(jù)勾股定理得，DF²=DE²+EF²，
∴DF²=9+（4-DF）²，
∴DF=$\frac{25}{8}$；

（2）由折疊知，∠DFE=∠A=90°，EF=AE，DF=AD=3
在Rt△ABD中，tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
根據(jù)勾股定理得，BD=5，
∴BF=BD-DF=5-3=2，
在Rt△BEF中，tan∠ABD=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{EF}{2}=\frac{3}{4}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$，
∴AE=$\frac{3}{2}$，
在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$；

（3）由（2）知，BD=5，
由折疊知，∠DOE=90°，EO=FO，DO=BO=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$，
在Rt△BCD中，tan∠BDC=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{3}{4}$，
在Rt△DOE中，tan∠BDC=$\frac{OE}{OD}$=$\frac{3}{4}$，
∴OE=$\frac{3}{4}$OD=$\frac{15}{8}$，
∴EF=2OE=$\frac{15}{4}$，

（4）由折疊知，BF=AB=5，
在Rt△BCF中，BC=3，根據(jù)勾股定理得，CF=4，
∴DF=CD-CF=AB-CF=1，
在Rt△DEF中，EF=AE=AD-DE=3-DE，
根據(jù)勾股定理得，EF²=DE²+DF²，
∴（3-DE）²=DE²+1，
∴DE=$\frac{5}{3}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出△DEF≌△BCF，解（2）的關(guān)鍵是求出EF，解（3）的關(guān)鍵是求出OE，解（4）的關(guān)鍵是用勾股定理建立DE的方程求解，是一道中等難度的中考常考題．