Question

20．已知，Rt△ABC中，∠BAC=90°，點D是直線AC上的動點，過點D作BC⊥DE交直線BC于點F，連接EC，且EC=ED，DC=2AB，將線段DE繞點E旋轉(zhuǎn)90°得到線段GE，連結(jié)BG．
（1）如圖1，當(dāng)點D在線段AC上時，證明：四邊形BCEG為菱形：
（2）如圖2．當(dāng)點D在線段AC的延長線上時，（1）的結(jié)論：四邊形BCEG為菱形是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過E作EH⊥CD于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DH=$\frac{1}{2}$CD，等量代換得到AB=DH，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ACB=∠DEH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=DE=CE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠GED=90°，GE=DE，即可得到結(jié)論．
（2）過E作EH⊥CD于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DH=$\frac{1}{2}$CD，等量代換得到AB=DH，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ACB=∠DEH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=DE=CE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠GED=90°，GE=DE，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）過E作EH⊥CD于H，
∵EC=ED，
∴DH=$\frac{1}{2}$CD，
∵DC=2AB，
∴AB=DH，
∵BC⊥DE，
∴∠DEH+∠EDH=∠ACB+∠CDF=90°，
∴∠ACB=∠DEH，
在△ABC與△HDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠DEH}\\{∠A=∠DHE}\\{AB=DH}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△HDE，
∴BC=DE=CE，
∵將線段DE繞點E旋轉(zhuǎn)90°得到線段GE，
∴∠GED=90°，GE=DE，
∴GE∥BC，GE=BC，
∴四邊形BCEG是平行四邊形，
∵BC=CE，
∴四邊形BCEG為菱形；

（2）過E作EH⊥CD于H，
∵EC=ED，
∴DH=$\frac{1}{2}$CD，
∵DC=2AB，
∴AB=DH，
∵BC⊥DE，
∴∠DEH+∠EDH=∠DCF+∠CDF=90°，
∴∠ACB=∠DEH=∠DCF，
在△ABC與△HDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠DEH}\\{∠A=∠DHE}\\{AB=DH}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△HDE，
∴BC=DE=CE，
∵將線段DE繞點E旋轉(zhuǎn)90°得到線段GE，
∴∠GED=90°，GE=DE，
∴GE∥BC，GE=BC，
∴四邊形BCEG是平行四邊形，
∵BC=CE，
∴四邊形BCEG為菱形．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．