Question

18．如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，AM⊥AD，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接BM．
（1）求證：△DAC≌△MAB；
（2）求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）證出△ADM、△ABC是等腰直角三角形，得出AD=AM，AC=AB，∠DAM=∠CAB=90°，∠ADM=45°，證出∠DAC=∠MAB，由SAS證明△DAC≌△MAB即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AD=AM=4，CD=BM=3，∠AMB=∠ADM=45°，得出∠BMD=90°，由勾股定理求出DM=$\sqrt{A{D}^{2}+A{M}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，在Rt△BDM中，由勾股定理求出BD即可．

解答 （1）證明：∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，AM⊥AD，
∴△ADM、△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=AM，AC=AB，∠DAM=∠CAB=90°，∠ADM=45°，
∴∠DAC=∠MAB，
在△DAC和△MAB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AM}&{\;}\\{∠DAC=∠MAB}&{\;}\\{AC=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△MAB（SAS）；
（2）解：∵△DAC≌△MAB，
∴AD=AM=4，CD=BM=3，∠AMB=∠ADM=45°，
∴∠BMD=45°+45°=90°，
∵DM=$\sqrt{A{D}^{2}+A{M}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴在Rt△BDM中，BD=$\sqrt{D{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{32+9}$=$\sqrt{41}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握勾股定理，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．