Question

13．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，連接DF并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使FE=DF，連接BE．
（1）求證：AF∥BE；
（2）若AC=2CF，∠DAC=30°，DC⊥AF，AD=2cm，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于O，由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，證出OF是△BDE的中位線，由三角形中位線定理即可得出結(jié)論；
（2）由直角三角形的性質(zhì)得出DC=$\frac{1}{2}$AD=1cm，由勾股定理求出AC=$\sqrt{A{D}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$cm，求出OF=2CF=$\sqrt{3}$，再由三角形中位線定理得出BE=2OF=2$\sqrt{3}$即可．

解答 （1）證明：連接BD交AC于O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵FE=DF，
∴OF是△BDE的中位線，
∴AF∥BE；
（2）解：∵∠DAC=30°，DC⊥AF，AD=2cm，
∴DC=$\frac{1}{2}$AD=1cm，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$cm，
∵AC=2CF，
∴CF=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OF=2CF=$\sqrt{3}$，
∵OF是△BDE的中位線，
∴BE=2OF=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證出OF是△BDE的中位線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．