Question

11．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點．
（1）請判斷△OEF的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）若AB=13，AC=10，請求出線段EF的長．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性質(zhì)結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，進而求出即可；
（2）利用勾股定理得出BO的長再利用三角形中位線定理得出EF的長．

解答 解：（1）△OEF是等腰三角形，
理由：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，
∵點E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點，
∴EO=$\frac{1}{2}$AB，OF=$\frac{1}{2}$AD，
∴EO=FO，
∴△OEF是等腰三角形；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，AC=10，
∴AO=5，∠AOB=90°，
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴BD=24，
∵點E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD，
∴EF=12．

點評 此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理和三角形中位線定理等知識，熟練應(yīng)用菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．