Question

16．下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，則第4個圖形中所有正三角形的個數(shù)有（　�。�

• A． 160
• B． 161
• C． 162
• D． 163

Answer 1

分析 由圖可以看出：第一個圖形中由角上的3個三角形加上中間1個小三角形再加上外圍1個大三角形共有5個正三角形；下一個圖形的三個角上的部分是上一個圖形的全部，另外加上中間一個小的三角形和外圍的一個大三角形，所以第二個圖形中有5×3+1+1=17個正三角形，第三個圖形中有17×3+1+1=53個正三角形，第四個圖形中有53×3+1+1=161個正三角形．

解答 方法一：
解：第一個圖形正三角形的個數(shù)為5，
第二個圖形正三角形的個數(shù)為5×3+2=17，
第三個圖形正三角形的個數(shù)為17×3+2=53，
第四個圖形正三角形的個數(shù)為53×3+2=161，
故選B．

方法二：
$\stackrel{4×3}{\overbrace{5，17}}$，$\stackrel{4×{3}^{2}}{\overbrace{17，53}}$，$\stackrel{4×{3}^{3}}{\overbrace{53，161}}$，$\stackrel{4×{3}^{4}}{\overbrace{161，{a}_{5}}}$，…$\stackrel{4×{3}^{n-1}}{\overbrace{{a}_{n-1}，{a}_{n}}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}-{a}_{1}=4×3}\\{{a}_{3}-{a}_{2}=4×{3}^{2}}\\{…}\\{{a}_{n}-{a}_{n-1}=4×3+4×{3}^{n-1}}\end{array}\right.$，
⇒（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）=a_n-a₁，
∴a_n-a₁=4×（3+3²+…+3^n-1）=4×（3+3²+…+3^n-1）=$\frac{{3}^{n}-3}{2}$（用錯位相減法可求出）
∴${a}_{n}-{a}_{1}=2×{3}^{n}-6$，
∵a₁=5，
∴${a}_{n}=2×{3}^{n}-1$．

點評 此題考查圖形的變化規(guī)律，找出數(shù)字與圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律解決問題是解答此題的關(guān)鍵．