Question

3．如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC交對(duì)角線AC于E，BF平分∠ABC交對(duì)角線AC于F，連接BE和DF．求證：四邊形DEBF是平行四邊形．

Answer 1

分析 由平行四邊形的性質(zhì)得出∠ADC=∠ABC，AB=CD，AB∥CD，得出內(nèi)錯(cuò)角相等∠BAF=∠DCE，再證出∠ABF=∠CDE，由ASA證明△ABF≌△CDE，得出BF=DE，∠AFB=∠CED，證出BF∥DE，即可得出四邊形DEBF是平行四邊形．

解答 證明：∵四邊形ACD是平行四邊形，
∴∠ADC=∠ABC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCE，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ABF=∠CDE，
在△ABF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠DCE}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠ABF=∠CDE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴BF=DE，∠AFB=∠CED，
∴BF∥DE，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．