Question

15．如圖，以長方形ABCO中點O為原點，以O(shè)C，OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，點A（0，a），C（b，0）滿足$\sqrt{a-2b}$+|b-2|=0．
（1）求點A，B和C的坐標(biāo)．
（2）已知坐標(biāo)軸上有兩動點P，Q同時出發(fā)，P點從C點出發(fā)沿x軸負(fù)方向以1個單位長度每秒的速度勻速移動．Q點從O點出發(fā)以2個單位長度每秒的速度沿O→A→B→C的路線移動，點Q到達(dá)C點整個運動隨之結(jié)束．若長方形對角線AC，BO的交點D的坐標(biāo)是（1，2），設(shè)運動時間為t（t＞0）秒．問：是否存在這樣的t，使S_△ODP=S_△ODQ？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）點F是線段AC上一點，滿足∠FOC=∠FCO，點G是第二象限中一點，連OG，使得∠AOG=∠AOF．點E是線段OA上一動點，連CE交OF于點H，下列兩個結(jié)論：①$\frac{∠OHC-∠ACE}{∠OEC}$的值不變；②$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}$的值不變，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求其值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求得a，b的值即可；
（2）①當(dāng)0＜t≤2時；②當(dāng)2≤t≤3時，③當(dāng)3≤t≤5時，再根據(jù)S_△ODP=S_△ODQ，列出關(guān)于t的方程，求得t的值即可；
（3）過H點作AC的平行線，交x軸于P，先判定OG∥AC，再根據(jù)角的和差關(guān)系以及平行線的性質(zhì)，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}$進(jìn)行計算即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-2b}$+|b-2|=0，
∴a-2b=0，b-2=0，
解得a=4，b=2，
∴A（0，4），C（2，0），
∵AB∥x軸，BC∥y軸，
∴B（2，4）；

（2）由條件可知：P點從C點運動到O點時間為2秒，Q點從O點運動到A點時間為2秒，
①當(dāng)0＜t≤2時，點Q在線段AO上，
即 CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，
∴S_△DOP=$\frac{1}{2}$OP•y_D=$\frac{1}{2}$（2-t）×2=2-t，
∵S_△ODP=S_△ODQ，
∴2-t=t，
∴t=1；
②當(dāng)2≤t≤3時，點Q在線段AB上，即CP=t，OP=t-2，QB=6-2t，
S_△DOP=$\frac{1}{2}$OP•y_D=$\frac{1}{2}$（t-2）×2=t-2，
S_△DOP=S_△OBQ-S_△DBQ=$\frac{1}{2}$QB•AO-$\frac{1}{2}$QB（y_B-y_D）=$\frac{1}{2}$×（6-2t）×4-$\frac{1}{2}×$（6-2t）（4-2）=6-2t，
∵S_△DOQ=S_△ODQ，
∴t-2=6-2t，
∴t=$\frac{8}{3}$；
③當(dāng)3≤t≤5時，點Q在線段BC上，CP=t，OP=t-2，QB=2t-6，
S_△DOP=$\frac{1}{2}$OP•y_D=$\frac{1}{2}$（t-2）×=t-2，
S_△DOQ=S_△OBQ-S_△DBQ=$\frac{1}{2}$QB•OC-$\frac{1}{2}$QB（x_B-x_D）=$\frac{1}{2}$×（2t-6）-$\frac{1}{2}$（6-2t）（2-1）=t-3，
∵S_△ODP=S_△ODQ，
∴t-2=t-3，無解，
此情況下不存在這樣的t，
∴當(dāng)t=1或t=$\frac{8}{3}$時，S_△ODP=S_△ODQ；


（3）$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}$的值不變，其值為2．
∵∠2+∠3=90°，
又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO=180°，
∴OG∥AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
如圖，過H點作AC的平行線，交x軸于P，則∠4=∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，
∴$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}$=$\frac{∠1+∠2+∠4+∠4}{∠1+∠4}$=$\frac{2（∠1+∠4）}{∠1+∠4}$=2．

點評 本題主要考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵值作輔助線構(gòu)造平行線．解題時注意：任意一個數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根具有非負(fù)性，非負(fù)數(shù)之和等于0時，各項都等于0．