Question

20．如圖，AB為⊙O直徑，且弦CD⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作⊙O的切線與AD的延長線交于點(diǎn)F．
（1）若EN⊥BC于點(diǎn)N，延長NE與AD相交于點(diǎn)M．求證：AM=MD；
（2）若⊙O的半徑為10，且cosC=$\frac{4}{5}$，求切線BF的長．

Answer 1

分析 （1）想辦法證明AM=EM，DM=EM即可解決問題；
（2）求出AF=$\frac{5}{4}AB=\frac{5}{4}×20=25$，根據(jù)BF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{B}^{2}}$計(jì)算即可解決問題；

解答 （1）證法一：∵∠A與∠C對同弧BD，
∴∠A=∠C，
∵CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴∠CEB=90°．
∴∠C+∠CBE=90°．
∵M(jìn)N⊥BC，
∴∠ENB=90°．
∴∠NEB+∠CBE=90°．
∴∠C=∠NEB，
∵∠NEB=∠AEM，
∴∠AEM=∠A，
∴AM=ME，
∵∠AEM=∠A，
∠MED+∠AEM=90°，
∠EDA+∠A=90°，
∴∠MED=∠EDA，
∴ME=MD，
∴AM=MD．

證法二：∵∠CDA與∠CBA對同弧AC，
∴∠CDA=∠CBA，
∵CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴∠AED=90°，
∴∠MED+∠MEA=90°，
∵M(jìn)N⊥BC，
∴∠ENB=90°，
∴∠CBA+∠BEN=90°，
∵∠MEA=∠BEN，
∴∠MED=∠CBA，
∴∠MED=∠CDA，
∴ME=MD，
∵∠MED+∠AEM=90°，
∠CDA+∠A=90°，
∴∠AEM=∠A，
∴AM=ME，
∴AM=MD．

（2）解：∵BF與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴AB⊥BF．
∴∠ABF=90°．
∵∠C與∠A對同弧BD，
∴∠C=∠A，
∴cosA=cosC=$\frac{4}{5}$，
∴cosA=$\frac{AB}{AF}$=$\frac{4}{5}$，
∴AF=$\frac{5}{4}AB=\frac{5}{4}×20=25$，
∴BF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-2{0}^{2}}$=15．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，所以中考常考題型．