Question

7．已知：在△ABC中，AB=AC，CD是AB邊上的高，點(diǎn)P是AC邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合）過點(diǎn)P作PE⊥BC，垂足為E，交CD于點(diǎn)F．若AD=CD，探究線段PF、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 根據(jù)AA可證△PCE∽△CBD∽△CFE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{PE-EF}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$-$\frac{BD}{CD}$，進(jìn)一步得到$\frac{PF}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$-$\frac{BD}{CD}$，設(shè)CD=x，則AD=x，AB=AC=$\sqrt{2}$x，BD=AB-AD=（$\sqrt{2}$-1）a，再代入計(jì)算即可求解．

解答 解：∵CD是AB邊上的高，PE⊥BC，
∴∠BDC=∠PEC=90°，
∴∠DCB=90°-∠B，∠CPE=90°-∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠DCB=∠CPE，
∴△PCE∽△CBD∽△CFE，
∴$\frac{PE}{CD}$=$\frac{CE}{BD}$，$\frac{EF}{BD}$=$\frac{CE}{CD}$，
即$\frac{PE}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$①，$\frac{EF}{CE}$=$\frac{BD}{CD}$②，
①-②$\frac{PE-EF}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$-$\frac{BD}{CD}$，
∵PE-EF=PF，
∴$\frac{PF}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$-$\frac{BD}{CD}$，
設(shè)CD=x，則AD=x，AB=AC=$\sqrt{2}$x，
∴BD=AB-AD=（$\sqrt{2}$-1）a，
∴$\frac{PF}{CE}$=$\frac{a}{（\sqrt{2}-2）a}$-$\frac{（\sqrt{2}-1）a}{a}$=2，
∴PF=2CE．

點(diǎn)評 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是證明△PCE∽△CBD∽△CFE．