Question

15．如圖，△ABC中，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀，說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)t=1.5或2.7或3時(shí)，△BCP是以BC為腰的等腰三角形．
（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為$\sqrt{5}$？

Answer 1

分析 （1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形；
（2）由于動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng)，故應(yīng)分點(diǎn)P在AC上與AB上兩種情況進(jìn)行討論；
（3）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為$\sqrt{5}$時(shí)，分三種情況討論：點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上；點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)；點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)，分別求得t的值并檢驗(yàn)即可．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形．
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC²+BC²=25=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，CP=CB=3，則t=3÷2=1.5秒；

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，分兩種情況：

若BP=BC=3，則AP=2，
故t=（4+2）÷2=3秒；                   
若CP=CB=3，作CM⊥AB于M，則
$\frac{1}{2}$×AB×MC=$\frac{1}{2}$×BC×AC，
$\frac{1}{2}$×5×MC=$\frac{1}{2}$×3×4，
解得CM=2.4，
∴由勾股定理可得PM=BM=1.8，即BP=3.6，
∴AP=1.4，
故t=（4+1.4）÷2=2.7秒． 
綜上所述，當(dāng)t=1.5、3或2.7 時(shí)，△BCP是以BC為腰的等腰三角形．
故答案為：t=1.5或2.7或3；

（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（0≤t≤2），
由勾股定理可得：（2t）²+t²=5，
解得t=1；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)（3≤t＜4），
由題可得：12-2t-t=$\sqrt{5}$，
解得t=$\frac{12-\sqrt{5}}{3}$；

③當(dāng)點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)（4＜t≤4.5），
由題可得：2t+t-12=$\sqrt{5}$，
解得t=$\frac{12+\sqrt{5}}{3}$，
∵t=$\frac{12+\sqrt{5}}{3}$＞4.5，
∴不成立，舍去．
綜上所述，當(dāng)t為1秒或$\frac{12-\sqrt{5}}{3}$秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用以及等腰三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．