Question

6．如圖，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，將△BCD沿直線CD折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊OA上的點(diǎn)E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求OE的長(zhǎng)及經(jīng)過(guò)O，D，C三點(diǎn)拋物線的解析式；
（2）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，沿EC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，DP=DQ；
（3）若點(diǎn)N在（1）中拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，設(shè)AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合C、O兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）用t表示出CP、BP的長(zhǎng)，可證明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；
（3）可設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，分三種情況①EN為對(duì)角線，②EM為對(duì)角線，③EC為對(duì)角線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得對(duì)角線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而可求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，
∴在Rt△COE中，OE=$\sqrt{C{E}^{2}-C{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
設(shè)AD=m，則DE=BD=4-m，
∵OE=3，
∴AE=5-3=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD²+AE²=DE²，即m²+2²=（4-m）²，解得m=$\frac{3}{2}$，
∴D（-$\frac{3}{2}$，-5），
∵C（-4，0），O（0，0），
∴設(shè)過(guò)O、D、C三點(diǎn)的拋物線為y=ax（x+4），
∴-5=-$\frac{3}{2}$a（-$\frac{3}{2}$+4），解得a=$\frac{4}{3}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{4}{3}$x（x+4）=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x；
（2）∵CP=2t，
∴BP=5-2t，
∵BD=$\frac{5}{2}$，DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴BD=DE，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{DP=DQ}\\{BD=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），
∴BP=EQ，
∴5-2t=t，
∴t=$\frac{5}{3}$；
（3）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2，
∴設(shè)N（-2，n），
又由題意可知C（-4，0），E（0，-3），
設(shè)M（m，y），
①當(dāng)EN為對(duì)角線，即四邊形ECNM是平行四邊形時(shí)，
則線段EN的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{0+（-2）}{2}$=-1，線段CM中點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{m+（-4）}{2}$，
∵EN，CM互相平分，
∴$\frac{m+（-4）}{2}$=-1，解得m=2，
又M點(diǎn)在拋物線上，
∴y=$\frac{4}{3}$×2²+$\frac{16}{3}$×2=16，
∴M（2，16）；
②當(dāng)EM為對(duì)角線，即四邊形ECMN是平行四邊形時(shí)，
則線段EM的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{m+0}{2}$，線段CN中點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{（-2）+（-4）}{2}$=-3，
∵EM，CN互相平分，
∴$\frac{m}{2}$=-3，解得m=-6，
又∵M(jìn)點(diǎn)在拋物線上，
∴y=$\frac{4}{3}$×（-6）²+$\frac{16}{3}$×（-6）=16，
∴M（-6，16）；
③當(dāng)CE為對(duì)角線，即四邊形EMCN是平行四邊形時(shí)，
則M為拋物線的頂點(diǎn)，即M（-2，-$\frac{16}{3}$）．
綜上可知，存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（2，16）或（-6，16）或（-2，-$\frac{16}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中求得D點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中證得全等，得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中注意分類討論思想的應(yīng)用．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．