Question

5．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接DE，在DE上取一點(diǎn)G，連接BG，使BG=BC，連接CG并延長與AD交于點(diǎn)F，在CG上取一動(dòng)點(diǎn)P（不與點(diǎn)C，點(diǎn)G重合），過點(diǎn)P分別作BG和BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M，點(diǎn)N．若四邊形AEGF的面積是$\frac{4}{5}$，則PM+PN的值為$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 延長DE和CB交于H點(diǎn)，過G點(diǎn)作QK∥BC，先證得△ADE≌△BHE，得出BH=BG=BC，進(jìn)而得出∠H=∠BGH，∠BGC=∠BCG，從而得出∠H+∠BCG=∠HGC=90°，然后進(jìn)一步證明△ADE≌△DCF，證得F是AD的中點(diǎn)，設(shè)AE=BE=a=DF，則CH=4a，QK=2a，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出$\frac{DF}{CH}$=$\frac{FG}{CG}$=$\frac{QG}{GK}$=$\frac{1}{4}$，得出QG=$\frac{1}{5}$QK=$\frac{2}{5}$a，GK=$\frac{4}{5}$QK=$\frac{8}{5}$a，然后根據(jù)四邊形AEGF的面積=△ADE的面積-△DGF的面積，求得a的值，從而求得GK的值，最后再證得PM+PN=GK即可．

解答 解：延長DE交CB的延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)G作QK⊥BC，QK分別交BC、AD于Q、K，
∵正方形ABCD中，AD∥BC，
∴AD∥BH，AD=BC，
∴∠ADE=∠H，
在△ADE和△BHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠H}\\{∠AED=∠BEH}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BHE（AAS），
∴BH=AD，
∵BG=BC，
∴BH=BG=BC，
∴∠H=∠BGH，∠BGC=∠BCG，
∴∠H+∠BCG=∠HGC=90°，
∴∠DCF+∠GDC=90°，
∵∠ADE+∠GDC=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠DCF}\\{AD=DC}\\{∠A=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴AE=DF，
∴F是AD的中點(diǎn)，
設(shè)AE=BE=a=DF，則CH=4a，QK=2a，
∵AD∥CH，
∴$\frac{DF}{CH}$=$\frac{FG}{CG}$=$\frac{QG}{GK}$=$\frac{1}{4}$，
∴QG=$\frac{1}{5}$QK=$\frac{2}{5}$a，GK=$\frac{4}{5}$QK=$\frac{8}{5}$a，
∵四邊形AEGF的面積是$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$a•2a-$\frac{1}{2}$a•$\frac{2}{5}$a=$\frac{4}{5}$，解得a=1，
∴GK=$\frac{8}{5}$，
∵S_△GBC=S_△PGB+S_△PBC，
∴$\frac{1}{2}$BC•GK=$\frac{1}{2}$BG•PM+$\frac{1}{2}$BC•PN，
∵BG=BC，
∴GK=PM+PN，
∴PM+PN=$\frac{8}{5}$．
故答案為$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形的面積等，作出輔助線，構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．