Question

12．如圖，在△ABC中，點B，C是x軸上的兩個定點，∠ACB=90°，AC=BC，點A（l，3），點P是x軸上的一個動點，點E是AB的中點，在△PEF中，∠PEF=90°，PE=EF

（1）如圖1，當點P與坐標原點重合時：①求證△PCE≌△FBE；②求點F的坐標；
（2）如圖2，當點P在線段CB上時，求證S_△CPE=S_△AEF
（3）如圖3，當點P在線段CB的延長線時，若S_△AEF=4S_△PBE則此刻點F的坐標為（4，4）．

Answer 1

分析 （1）①只要證明∠OEC=∠FEB，OE=EF，EC=EB，即可解決問題．
②由△PCE≌△FBE推出BF=PC=1，只要證明BF⊥PB即可．
（2）如圖2中，作PM⊥CE于M，F(xiàn)N⊥EB于N，根據(jù)全等三角形的性質可知PM=FN，由S_△CPE=$\frac{1}{2}$CE•PM，S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AE•FN，即可證明．
（3）由（2）可知△ECP≌△EBF，推出PC=BF，BF⊥CP，由S_△CPE=S_△AEF，S_△AEF=4S_△PBE，推出S_△CPE=4S_△PBE，推出PC=4PB，推出BC=3PB，PB=1，PC=4，推出BF=PC=4，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

①∵A（1，3），B（4，0），
∴AC=BC=3，△ACB是等腰直角三角形，
∵AE=EB，
∴CE=AE=EB，CE⊥AB，∠ECB=∠EBC=45°，
∴∠CEB=∠OEF=90°，∠ECO=135°，
∴∠OEC=∠FEB，∵OE=EF，EC=EB，
∴△EOC≌△EFB，即△PCE≌△FBE．．
②∵△PCE≌△FBE．
∴OC=BF=1，∠EBF=∠OCE=135°，
∴∠OBF=90°，
∴BF⊥OB，
∴F（4，-1）．

（2）證明：如圖2中，作PM⊥CE于M，F(xiàn)N⊥EB于N．

由（1）可知∠OEC=∠FEB，OE=EF，EC=EB，
∴△ECP≌△EBF，
∵PM⊥CE于M，F(xiàn)N⊥EB于N，
∴PM=FN（全等三角形對應邊上的高相等），
∵S_△CPE=$\frac{1}{2}$CE•PM，S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AE•FN，
∵CE=AE，PM=NF，
∴S_△CPE=S_△AEF．

（3）解：如圖3中，

由（2）可知△ECP≌△EBF，推出PC=BF，BF⊥CP，
∵S_△CPE=S_△AEF，S_△AEF=4S_△PBE，
∴S_△CPE=4S_△PBE，
∴PC=4PB，
∴BC=3PB，PB=1，PC=4，
∴BF=PC=4，
∴點F坐標為（4，4）．
故答案為（4，4）．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、三角形的面積等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，學會利用全等三角形的性質解決問題，屬于中考壓軸題．