Question

5．已知∠BAC=30°，AB=3，AC=4，M在AC上，N在AB上，則BM+MN+NC的最小值是$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖直線AC、AE關(guān)于直線AB的對稱，作CF⊥AE于F，交直線AB于N，作BM⊥AC于M，連接MN，此時BM+MN+CN最短，由BM+MN+CN=BM+FN+CN=BM+CF可知求出BM、CF即可．

解答 解：如圖直線AC、AE關(guān)于直線AB的對稱，作CF⊥AE于F，交直線AB于N，作BM⊥AC于M，連接MN，此時BM+MN+CN最短．
理由：∵BM+MN+CN=BM+FN+CN=BM+CF，
∴BM+CF最小（垂線段最短），
在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=3，∠MAB=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
在RT△ACF中，∵∠AFC=90°，AC=4，∠FAC=60°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=2，CF=$\sqrt{3}$AF=2$\sqrt{3}$，
∴BM+MN+NC的最小值是$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$．
故答案為$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、垂線段最短、直角三角形30°角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是準確找到點N、點M的位置，屬于中考�？碱}型．