Question

6．如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸上，點B的坐標(biāo)為（6，9）．雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過BC的中點D，且與AB交于點E，連接DE．
（1）則k=27；點D（3，9）；點E（6，$\frac{9}{2}$）；
（2）若點F是邊OC上一點，且△FCB與△DBE相似，求直線FB的解析式．

Answer 1

分析 （1）由點B的坐標(biāo)及D為BC中點得出點D的坐標(biāo)，據(jù)此可得k的值及反比例函數(shù)解析式，繼而由點E橫坐為6得出點E坐標(biāo)；
（2）由點D、E坐標(biāo)得出DB=3、BE=$\frac{9}{2}$，設(shè)點F（0，m），知CF=9-m、BC=6，再分△BCF∽△DBE、△BCF∽△EBD兩種情況求得m的值，利用待定系數(shù)法可求得直線FB的解析式．

解答 解：（1）∵點B的坐標(biāo)為（6，9），且四邊形OABC是矩形，
∴OA=BC=6，OC=AB=9，
∵D為BC的中點，
∴點D坐標(biāo)為（3，9），
將點D坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$得：k=27，
∵OA=6，
∴在y=$\frac{27}{x}$中，當(dāng)x=6時，y=$\frac{27}{6}$=$\frac{9}{2}$，
則點E坐標(biāo)為（6，$\frac{9}{2}$），
故答案為：27、3、9、6、$\frac{9}{2}$；

（2）∵點D（3，9）、E（6，$\frac{9}{2}$），
∴DB=3，BE=$\frac{9}{2}$，
設(shè)點F（0，m），
則CF=9-m、BC=6，
①當(dāng)△BCF∽△DBE時，$\frac{BC}{DB}$=$\frac{CF}{BE}$，
∴$\frac{6}{3}$=$\frac{9-m}{\frac{9}{2}}$，
解得：m=0，即點F（0，0），
設(shè)直線FB解析式為y=nx，
將點B（6，9）代入，得：n=$\frac{3}{2}$，
則直線BF解析式為y=$\frac{3}{2}$x；
②當(dāng)△BCF∽△EBD時，$\frac{BC}{EB}$=$\frac{CF}{BD}$，
∴$\frac{6}{\frac{9}{2}}$=$\frac{9-m}{3}$，
解得：m=5，即點F（0，5），
設(shè)直線BF解析式為y=ax+b，
將點B（6，9）、F（0，5）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{6a+b=9}\\{b=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
則直線BF解析式為y=$\frac{2}{3}$x+5，
綜上，直線BF解析式為y=$\frac{3}{2}$x或y=$\frac{2}{3}$x+5．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．