Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線y=2x²+bx+c的頂點(diǎn)為A（2，1），同時(shí)與直線x=3交于點(diǎn)B，連接OA并延長(zhǎng)與直線x=3交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求出△ABC的面積；
（3）若點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，則是否存在以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知a=2，利用拋物線的頂點(diǎn)式可知y=2（x-2）²+1；
（2）設(shè)直線OC的解析式為y=kx，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可求得k的值，從而得到OC的解析式，將x=3代入可得到C的坐標(biāo)，將x=3代入拋物線的解析式可求得B的坐標(biāo)，最后依據(jù)S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•（x_C-x_A）求解即可；
（3）先依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得AB的長(zhǎng)，然后分為△APB∽△BCA、△P′AB∽△ABC兩種情況求得AP的長(zhǎng)，從而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線的解析式為y=2x²+bx+c，
∴a=2．
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
∴拋物線的解析式為y=2（x-2）²+1，即y=2x²-8x+9.\

（2）設(shè)直線OC的解析式為y=kx．
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：2k=1，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直線OA的解析式為y=$\frac{1}{2}$x．
將x=3代入OA的解析式得：y=$\frac{3}{2}$
∴C（3，$\frac{3}{2}$）．
將x=3代入拋物線的解析式得：y=3，
∴B（3，3）．
∴BC=1.5．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•（x_C-x_A）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{4}$．

（3）依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AB=$\sqrt{5}$．
如圖所示：當(dāng)△APB∽△BCA時(shí)．

∵△APB∽△BCA，
∴$\frac{AP}{BC}=\frac{AB}{BA}$=1，則AP=BC=1.5．
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1+1.5=2.5．
∴P（2，2.5）．
當(dāng)△P′AB∽△ABC時(shí)，$\frac{AP′}{AB}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AP′}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{1.5}$，解得：AP′=3$\frac{1}{3}$．
∴P（2，4$\frac{1}{3}$）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，2.5）或P（2，4$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的相似三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．