Question

4．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，4）和B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）求該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）C是該二次函數(shù)的圖象上A，B兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x，寫出四邊形OBCA的面積S關(guān)于點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x的函數(shù)解析式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=4}\\{36a+6b=0}\end{array}\right.$，然后給解方程組即可得到a和b的值；
（2）有（1）得到拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+3x，然后利用配方法把一般式配成頂點(diǎn)式，從而得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作AM⊥x軸于點(diǎn)M，CN⊥x軸于N，如圖，設(shè)C（x，-$\frac{1}{2}$x²+3x），利用S_{四邊形OBCA}=S_△AOM+S_梯形AMNC+S_△CNB可得到S與x的關(guān)系，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求S的最大值．

解答 解：（1）把A（2，4）和B（6，0）分別代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=4}\\{36a+6b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（2）拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+3x
因?yàn)閥=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$，
所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，$\frac{9}{2}$）；
（3）作AM⊥x軸于點(diǎn)M，CN⊥x軸于N，如圖，設(shè)C（x，-$\frac{1}{2}$x²+3x），
∵S_{四邊形OBCA}=S_△AOM+S_梯形AMNC+S_△CNB，
∴S=$\frac{1}{2}$•2•4+$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$x²+3x+4）（x-2）+$\frac{1}{2}$•（6-x）•（-$\frac{1}{2}$x²+3x）
=-x2+8x
=-（x-4）²+16（2＜x＜6），
當(dāng)x=4時(shí)，S有最大值，最大值為16．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；能運(yùn)用分割法求不規(guī)則圖形的面積．