Question

19．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0，a＞0，b＞0．
（1）若方程有實數(shù)根，試確定a，b之間的大小關(guān)系；
（2）若a：b=2：$\sqrt{3}$，且2x₁-x₂=2，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程有實數(shù)根，得出判別式△≥0，再根據(jù)a＞0，b＞0，即可得出答案；
（2）利用a與b的比值分別設(shè)出a和b，利用根與系數(shù)的關(guān)系用設(shè)出的未知數(shù)表示出方程的兩個解，代入的2x₁-x₂=2中求得a與b的值即可．

解答 解：（1）∵方程x²+2ax+b²=0有實數(shù)根，
∴△=（2a）²-4b²≥0，即a²≥b²，
∵a＞0，b＞0，
∴a≥b；

（2）∵a：b=2：$\sqrt{3}$，
∴設(shè)a=2k，b=$\sqrt{3}$k．
解關(guān)于x的一元二次方程x²+4kx+3k²=0，得x=-k或-3k，
當(dāng)x₁=-k，x₂=-3k時，由2x₁-x₂=2得k=2，
當(dāng)x₁=-3k，x₂=-k時，由2x₁-x₂=2得k=-$\frac{2}{5}$（不合題意，舍去），
∴a=4，b=2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了根的判別式的知識，解答本題要掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．