Question

11．已知關(guān)于x的方程x²+cx+a=0的兩個整數(shù)根恰好比方程x²+ax+b=0的兩個根都小2，則a+b+c的值為-8或0．

Answer 1

分析 設(shè)出第一個方程的兩根，表示出后面方程的另2根．利用根與系數(shù)的關(guān)系得到與a的關(guān)系，進(jìn)而消去a，得到兩個一次項的積為一個常數(shù)的形式，判斷可能的整數(shù)解，得到a，b，c的值，相加即可．

解答 解：設(shè)方程x²+ax+b=0的兩個根為α，β，
∵方程有整數(shù)根，
設(shè)其中α，β為整數(shù)，且α≤β，
則方程x²+cx+a=0的兩根為α+2，β+2，
∴α+β=-a，（α+2）（β+2）=a，
兩式相加，得αβ+3α+3β+4=0，
即（α+3）（β+3）=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{α+3=1}\\{β+3=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{α+3=5}\\{β+3=1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{α=-2}\\{β=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{α=2}\\{β=-2}\end{array}\right.$，
又∵a=-（α+β）=-[（-2）+2]=0，b=αβ=-2×2=-4，c=-[（α+2）+（β+2）]=-[（-2+2）+（2+2）]=-4，
或a=-（α+β）=-[2+（-2）]=0，b=αβ=2×（-2）=-4，c=-[（α+2）+（β+2）]=-[（2-2）+（-2-2）]=4，
∴a=0，b=-4，c=-4；或者a=0，b=-4，c=4，
∴a+b+c=0+（-4）+（-4）=-8或a+b+c=0+（-4）+4=0，
綜上所述，a+b+c=-8或0．
故答案是：-8或0．

點(diǎn)評 主要考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用；利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；消去a后得到兩個一次項的積為一個常數(shù)的形式是解決本題的難點(diǎn)．