Question

15．已知二次函數(shù)y=x²+（m-3）x+1-2m．求證：
（1）此二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點；
（2）當m取不同的值時，這些二次函數(shù)的圖象都會經(jīng)過一個定點，求此定點的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用根的判別式，可得結論；
（2）首先分離出m，令m的系數(shù)為0，求出x，再求出y，也就是說這個定點與m的值無關．

解答 證明：（1）b²-4ac=（m-3）²-4（1-2m）=m²+2m+5=（m+1）²+4，
∵（m+1）²≥0，∴（m+1）²+4＞0，
∴二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點；

（2）y=x²+（m-3）x+1-2m=x²+（x-2）m-3x+1，
∵當m取不同的值時，這些二次函數(shù)的圖象都會經(jīng)過一個定點，
∴這個定點與m的值無關，
∴x-2=0，
解得：x=2，
∴y=2²-3×2+1=-1，
∴當m取不同的值時，這些二次函數(shù)的圖象都會經(jīng)過（2，-1）．

點評 此題主要考查了拋物線與x軸的交點，熟記二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關系，△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)；△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點是解答此題的關鍵．