Question

在直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=

1

2

x+1的圖象與二次函數(shù)y=-x²+

9

2

x+1的圖象交于點A、B，則銳角∠ABO的正弦值等于（　�。�

• A、

  2 5

  15

• B、

  2 5

  25

• C、

  2

  15

• D、

  2

  11

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：通過解方程組

y= 1 2 x+1 y=-x2+ 9 2 x+1

得A（0，1），B（4，3），如圖，作AC⊥OB于C，則可根據(jù)勾股計算出OB=5，接著利用面積法求出AC=

4

5

，再在Rt△AOC中利用勾股定理計算出OC=

3

5

，則BC=OB-OC=

22

5

，然后在Rt△ABC中利用正切的定義求解．

解答：解：解方程組

y= 1 2 x+1 y=-x2+ 9 2 x+1

得

x=0 y=1

或

x=4 y=3

，
則A（0，1），B（4，3），
如圖，作AC⊥OB于C，
OB=

42+32

=5，
△OBA的面積=

1

2

×1×4=2，
所以

1

2

AC•OB=2，即AC=

4

5

，
在Rt△AOC中，OC=

OA2-AC2

=

3

5

，
則BC=OB-OC=5-

3

5

=

22

5

，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=

AC

BC

=

4 5

22 5

=

2

11

，
即銳角∠ABO的正弦值等于

2

11

．
故選D．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸直線x=-

b

2a

．也考查了二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題和解直角三角形．