Question

13．綜合與實踐
在數(shù)學活動課上，老師給出如下問題，讓同學們展開探究活動：
問題情境：
如圖（1），在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=a，點D為AB上一點（0＜AD＜$\frac{1}{2}$AB），將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到的對應線段為CE，過點E作EF∥AB，交BC于點F．請你根據(jù)上述條件，提出恰當?shù)臄?shù)學問題并解答．
解決問題：
下面是學習小組提出的三個問題，請你解答這些問題：
（1）“興趣”小組提出的問題是：求證：AD=EF．
（2）“實踐”小組提出的問題是：如圖（2），若將△ACD沿AB的垂直平分線對折，得到△BCG，連接EG，則線段EG與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
（3）“奮進”小組在“實踐”小組探究的基礎(chǔ)上，提出了如下問題：延長EF與AC交于點H，連接HD，F(xiàn)G．求證：四邊形DGFH是矩形．
提出問題：
（4）完成上述問題的探究后，老師讓同學們結(jié)合圖（3），提一個與四邊形DGFH有關(guān)的問題．
“智慧”小組提出的問題是：當AD為何值時，四邊形DGFH的面積最大？
請你參照智慧小組的做法，再提出一個與四邊形DGFH有關(guān)的數(shù)學問題（提出問題即可，不要求進行解答，但所提問題必須有效）
 你提出的問題是：當AD為何值時，四邊形DGFH為正方形

Answer 1

分析 （1）連接BE，證出∠ACD=∠BCE，由SAS證明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，∠CBE=∠CAD=45°．證出∠ABE=90°．由平行線的性質(zhì)求出∠FEB=90°，得出∠EFB=∠EBF=45°，證出EF=BE，即可得出結(jié)論；
（2）連接BE．由（1）可知，BE=AD，EF=AD，BE⊥AB．得出BE=BG=EF，證出∠BGE=∠BEG=45°，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）連接BE．證出CH=CF．由SAS證明△HCD≌△FCG，得出DH=FG，∠CDH=∠CGF．證出∠HDA=∠FGB，證明四邊形BEFG為正方形，得出∠FGB=90°．
因此∠HDG=∠HDA=90°，證出四邊形DGFH為平行四邊形，即可得出結(jié)論．
（4）由正方形的性質(zhì)容易得出答案．

解答 （1）證明：連接BE，如圖1所示：
∵∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠CBE=∠CAD=45°．
∴∠ABE=90°．
∵EF∥AB，
∴∠FEB+∠ABE=180°，
∴∠FEB=90°，
∴∠EFB=∠EBF=45°，
∴EF=BE，
∴AD=EF．
（2）解：EG=$\sqrt{2}$EF．理由如下：如圖2所示，連接BE．
由（1）可知，BE=AD，EF=AD，BE⊥AB．
∵AD=BG，
∴BE=BG=EF，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴EG=$\sqrt{2}$BG，
∴EG=$\sqrt{2}$EF．
（3）證明：如圖3所示，連接BE．
∵FH∥AB，
∴∠CHF=∠A=45°，∠CFH=∠B=45°，
∴∠CHF=∠CFH，
∴CH=CF．
∵△ACD與△BCG對稱，點D的對應點為G，
∴CD=CG，∠HCD=∠FCG，
在△HCD和△FCG中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CG}&{\;}\\{∠HCD=∠FCG}&{\;}\\{CH=CF}&{\;}\end{array}\right.$
∴△HCD≌△FCG（SAS），
∴DH=FG，∠CDH=∠CGF．
又∵∠CDA=∠CGB，
∴∠HDA=∠FGB．
由（1），（2）可知，BG=EF=BE，BG∥EF，∠EBG=90°，
∴四邊形BEFG為正方形，
∴∠FGB=90°．
∴∠HDG=∠HDA=90°．
∴HD∥FG，
又∵HF∥DG，
∴四邊形DGFH是平行四邊形，
∴四邊形DGFH為矩形．
（4）解：當AD為何值時，四邊形DGFH為正方形（答案不唯一）；
故答案為：當AD為何值時，四邊形DGFH為正方形．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度．