Question

5．（1）發(fā)現(xiàn)
如圖1，點(diǎn)p為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，∠B=∠C=90°，
填空：當(dāng)∠APD=90°時(shí)，則△ABP∽△PCD；
（2）應(yīng)用
填空：如圖2，點(diǎn)E、F分別在函數(shù)$y=-\frac{4}{x}（x＜0）、y=\frac{1}{x}（x＞0）$的圖象上，且OE⊥OF，則tan∠E=$\frac{1}{2}$；
（3）拓展．
如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，點(diǎn)P為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，∠NPM=45°，PN交AC于點(diǎn)N，PM交AB于點(diǎn)M，連接MN，若AN=2，AC=6，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°以及平角為180°，通過(guò)角的計(jì)算可得出∠APB=∠PDC，結(jié)合∠B=∠C，即可證出△ABP∽△PCD；
（2）由（1）的結(jié)論可得出△EOE′∽△OFF′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即可得出$\frac{OF}{OE}$的值，再根據(jù)正切的定義即可得出結(jié)論；
（3）同（1）可求出△CNP∽△BPM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出BM的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出AM的長(zhǎng)度，在Rt△AMN中，利用勾股定理可求出MN的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵∠APB+∠APD+∠DPC=180°，∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°．
又∵∠DPC+∠PDC+∠C=180°，∠C=90°，
∴∠APB=∠PDC．
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD．
故答案為：△PCD．

（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)E作EE′⊥x軸，垂足為E′，過(guò)點(diǎn)F作FF′⊥x軸，垂足為F′．
∵OE⊥OF，
∴△EOE′∽△OFF′，
∴$\frac{OF}{OE}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△OFF′}}{{S}_{△EOE′}}}$．
∵點(diǎn)E、F分別在函數(shù)$y=-\frac{4}{x}（x＜0）、y=\frac{1}{x}（x＞0）$的圖象上，
∴$\frac{OF}{OE}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△OFF′}}{{S}_{△EOE′}}}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{2}×1}{\frac{1}{2}×|-4|}}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠E=$\frac{OF}{OE}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

（3）∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠C=∠B=45°，
∴∠CPN+∠CNP=180°-∠C=135°，∠BPM+∠BMP=180°-∠B=135°，
∴∠CPN+∠CNP=∠BPM+∠BMP．
∵∠NPM=45°，
∴∠CPN+∠BPM=180°-∠NPM=135°，
∴∠CNP=∠BPM．
又∵∠C=∠B，
∴△CNP∽△BPM，
∴$\frac{CN}{BP}$=$\frac{CP}{BM}$．
∵AN=2，AC=6，
∴BC=$\sqrt{2}$AC=6$\sqrt{2}$，CN=4．
∵點(diǎn)P為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，
∴CP=BP=3$\sqrt{2}$．
∴BM=$\frac{CP•BP}{CN}$=$\frac{9}{2}$，
∴AM=AB-BM=$\frac{3}{2}$．
在Rt△AMN中，AN=2，AM=$\frac{3}{2}$，∠A=90°，
∴MN=$\sqrt{A{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、正切的定義以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）通過(guò)角的計(jì)算找出∠APB=∠PDC；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，找出$\frac{OF}{OE}$的值；（3）利用相似三角形的性質(zhì)求出BM的長(zhǎng)度．