Question

17．如圖，點(diǎn)A（0，8），點(diǎn)B（4，0），連接AB，點(diǎn)M，N分別是OA，AB的中點(diǎn)，在射線MN上有一動(dòng)點(diǎn)P，若△ABP是直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2$\sqrt{5}$+2，4）或（12，4）．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理得到AB=4$\sqrt{5}$，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到AM=OM=4，MN=2，AN=BN=2$\sqrt{5}$，①當(dāng)∠APB=90°時(shí)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到PN=AN=2$\sqrt{5}$，于是得到P（2$\sqrt{5}$+2，4），②當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，如圖，過P作PC⊥x軸于C，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BP=AB=4$\sqrt{5}$，根據(jù)勾股定理得到PN=2$\sqrt{30}$，求得P（2$\sqrt{30}$+2，4）．

解答 解：∵點(diǎn)A（0，8），點(diǎn)B（4，0），
∴OA=8，OB=4，
∴AB=4$\sqrt{5}$，
∵點(diǎn)M，N分別是OA，AB的中點(diǎn)，
∴AM=OM=4，MN=2，AN=BN=2$\sqrt{5}$，
①當(dāng)∠APB=90°時(shí)，
∵AN=BN，
∴PN=AN=2$\sqrt{5}$，
∴PM=MN+PN=2$\sqrt{5}$+2，
∴P（2$\sqrt{5}$+2，4），
②當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，如圖，
過P作PC⊥x軸于C，
則△ABO∽△BPC，
∴$\frac{AB}{PB}=\frac{OB}{PC}$=$\frac{4}{4}$=1，
∴BP=AB=4$\sqrt{5}$，
∴PC=OB=4，
∴BC=8，
∴PM=OC=4+8=12，
∴P（12，4），
故答案為：（2$\sqrt{5}$+2，4）或（12，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．