Question

16．如圖，過(guò)△ABC的重心G引直線XY，使A與B，C在XY的異側(cè)，從頂點(diǎn)A，B，C向這條直線作垂線，設(shè)垂足分別為如A′，B′，C′，求證：AA′=BB′+CC′．

Answer 1

分析 連接AG并延長(zhǎng)交BC于D，過(guò)D作DE⊥XY于E，通過(guò)△AA′G∽△DEG，得到$\frac{AA′}{DE}=\frac{AG}{DG}$，由于點(diǎn)G是△ABC的重心，于是得到$\frac{AG}{DG}=2$，BD=CD，然后根據(jù)梯形的中位線定理得到結(jié)論．

解答 解：連接AG并延長(zhǎng)交BC于D，過(guò)D作DE⊥XY于E，
∵AA′⊥XY，
∴∠AA′G=∠DEG=90°，∠AGA′=∠DGE，
∴△AA′G∽△DEG，
∴$\frac{AA′}{DE}=\frac{AG}{DG}$，
∵點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴$\frac{AG}{DG}=2$，BD=CD，
∴AA′=2DE，
∵BB′⊥XY，CC′⊥XY，
∴BB′∥DE∥CC′，
∴BB′+CC′=2DE，
∴AA′=BB′+CC′．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了梯形中位線定理，三角形的重心，作輔助線構(gòu)成梯形中位線是解題的關(guān)鍵．