Question

5．如圖，在⊙O中，弦AB=CD，E、F分別為AB、CD的中點，求證：∠AEF=∠CFE．

Answer 1

分析 利用同圓或等圓中相等的弦所對的弧、弦心距相等可得EO=FO，進而得到∠OEF=∠OFE，從而可得∠AEO-∠FEO=∠CFO-∠OFE，進而得到∠AEF=∠CFE；

解答 證明：連接OE，OF，
∵點E、F是AB、CD的中點，
∴EO⊥AB，F(xiàn)O⊥CD，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
∴OE和OF是圓的兩條弦的弦心距，
∵AB，CD是⊙O的兩條弦，AB=CD，
∴EO=FO，
∴∠OEF=∠OFE，
∵OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∴90°+∠FEO=90°+∠OFE，
即：∠AEF=∠CFE．

點評 本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確的將證明弦心距轉(zhuǎn)化為證明兩弦相等．