Question

6．如圖，直線y=2x+4與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象相交于A（-3，a）和B兩點(diǎn)
（1）求k的值；
（2）直線y=m（m＞0）與直線AB相交于點(diǎn)M，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)N．若MN=4，求m的值；
（3）直接寫出不等式$\frac{6}{x-5}$＞x的解集．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（-3，a）代入y=2x+4與y=$\frac{k}{x}$即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到M（$\frac{m+4}{2}$，m），N（$\frac{6}{m}$，m），根據(jù)MN=4列方程即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)$\frac{6}{x-5}$＞x得到$\frac{6-{x}^{2}+5x}{x-5}$＞0解不等式組即可得到結(jié)論．

解答 （1）∵點(diǎn)A（-3，a）在y=2x+4與y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴2×（-3）+4=a，
∴a=-2，
∴k=（-3）×（-2）=6；
（2）∵M(jìn)在直線AB上，
∴M（$\frac{m-4}{2}$，m），N在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$上，
∴N（$\frac{6}{m}$，m），
∴MN=x_N-x_M=$\frac{6}{m}$-$\frac{m-4}{2}$=4或x_M-x_N=$\frac{m-4}{2}$-$\frac{6}{m}$=4，
解得：∵m＞0，
∴m=2或m=6+4$\sqrt{3}$；
（3）x＜-1或5＜x＜6，
由$\frac{6}{x-5}$＞x得：$\frac{6}{x-5}$-x＞0，
∴$\frac{6-{x}^{2}+5x}{x-5}$＞0，
∴$\frac{{x}^{2}-5x-6}{x-5}$＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x-6＞0}\\{x-5＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x-6＜0}\\{x-5＞0}\end{array}\right.$，
結(jié)合拋物線y=x²-5x-6的圖象可知，由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x-6＞0}\\{x-5＜0}\end{array}\right.$得
$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1或x＞6}\\{x＜5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{x＜5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞6}\\{x＜5}\end{array}\right.$，
∴此時(shí)x＜-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x-6＜0}\\{x-5＞0}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜6}\\{x＞5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜6}\\{x＞5}\end{array}\right.$，
解得：5＜x＜6，
綜上，原不等式的解集是：x＜-1或5＜x＜6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，求不等式組的解集，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵