Question

11．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點(diǎn)．在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 已知拋物線經(jīng)過(guò)C（0，-2），則可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2，再把A（4，0），B（1，0）代入即可得出拋物線的解析式；過(guò)D作y軸的平行線交AC于E，將△DCA分割成兩個(gè)三角形△CDE，△ADE，它們的底相同，為DE，高的和為4，就可以表示它們的面積和，即△DCA的面積，運(yùn)用代數(shù)式的變形求最大值．

解答 解：∵該拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，-2），
設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-2=0}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴此拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；
如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2．
過(guò)D作y軸的平行線交AC于E．
由題意可求得直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2．
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{2}$t-2）．
∴DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2-（$\frac{1}{2}$t-2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t．
∴S_△DAC=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴當(dāng)t=2時(shí)，△DAC面積最大．
∴D（2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)系里表示三角形的面積及其最大值問(wèn)題，掌握待定系數(shù)法的方法與步驟，會(huì)用字母代替長(zhǎng)度，坐標(biāo)，會(huì)對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理變形．