Question

16．閱讀材料：
（1）如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且BD=CD，求證：AB=AC．
小明解決上面的問題的思路是，延長AD到點E，使DE=AD，連接BE，從完成此題，請按照小明的思路將此題補充完整．
（2）等腰△ABC△DCE中，∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC，DC=DE，連接BE，取BE的中點P，連接PA，PD．
①如圖2，當∠BAC=∠CDE=90°，猜想并驗證PA與PD的數(shù)量關系和位置關系．
②如圖3，當∠BAC≠∠CDE≠90°時，猜想并驗證PA與PD的位置關系．

Answer 1

分析 （1）延長AD到點E，使DE=AD，連接BE，由SAS證明△BDE≌△CDA，得出BE=AC，∠E=∠CAD，由角平分線得出∠BAD=∠CAD，∠E=∠BAD，證出AB=BE，即可得出結(jié)論；
（2）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明四邊形PHCI是平行四邊形，得PH=CI，PI=CH，∠PHC=∠PIC，再證明△AHP≌△PID，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和360°，得∠APD=90°，所以AP=PD且PA⊥PD；
（3）作輔助線，構(gòu)建中點和平行四邊形，先根據(jù)等腰三角形三線合一得：∠HAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠CDI=$\frac{1}{2}$∠CDE，則∠HAC+∠CDI=90°，根據(jù)同角的余角相等得∠CDI=∠HCA，證明△AHC∽△CID，則$\frac{AH}{CI}=\frac{CH}{DI}$，$\frac{AH}{PH}$=$\frac{PI}{DI}$，從而得△AHP∽△PID，則∠HAP=∠DPI，利用周角的性質(zhì)得：∠APD=90°，則AP⊥PD．

解答 （1）證明：延長AD到點E，使DE=AD，連接BE，如圖1所示：
在△BDE和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DA}&{\;}\\{∠BDE=∠CDA}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC，∠E=∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠E=∠BAD，
∴AB=BE，
∴AB=AC；
（2）解：①PA=PD且PA⊥PD，理由如下：
取BC的中點H，CE的中點I，連接AH、PH、PI、DI，如圖2所示：
∵∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC，DC=DE，
∴△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴AH⊥BC，DI⊥CE，
∴∠AHC=∠DIC=90°，
∵P、H、I分別是BE、BC、EC的中點，
∴PH、PI是△BEC的中位線，AH=$\frac{1}{2}$BC=CH，DI=$\frac{1}{2}$BC=CI
∴PH∥EC，PI∥BC，
∴四邊形PHCI是平行四邊形，
∴PH=CI，PI=CH，∠PHC=∠PIC∴AH=PI，∠AHP=∠PID，PH=DI，
∴△AHP≌△PID，
∴AP=PD，∠HAP=∠DPI，
∵∠HAP+∠APH+∠AHP+∠AHB=180°+90°=270°，
∴∠HAP+∠APH+∠PHB=270°，
∴∠DPI+APH+∠IPH=270°，
∴∠APD=360°-270°=90°，
∴PA⊥PD；
（3）解：如圖3，AP⊥PD，理由如下：
取BC的中點H，EC的中點I，連接AH、PH、PI、DI，
同理可得：四邊形PHCI是平行四邊形，
∴PI=CH，PH=CI，
∵AB=AC，H是BC的中點，
∴AH平分∠BAC，AH⊥BC，
∴∠HAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠AHC=90°，
同理，∠CDI=$\frac{1}{2}$∠CDE，∠DIC=90°，
∵∠BAC+∠CDE=180°，
∴∠HAC+∠CDI=90°，
∵∠HAC+∠HCA=90°，
∴∠CDI=∠HCA，
∵∠AHC=∠DIC=90°，
∴△AHC∽△CID，
∴$\frac{AH}{CI}=\frac{CH}{DI}$，
∴$\frac{AH}{PH}$=$\frac{PI}{DI}$∵∠AHC=∠DHI，∠PHC=∠PIC，
∴∠AHC-∠PHC=∠DIC-∠PIC，即∠AHP=∠DIP，
∴△AHP∽△PID，
∴∠HAP=∠DPI，
∵∠APH+∠HAP+∠AHP+∠AHB=180°+90°=270°，
∴∠HAP+∠APH+∠PHB=270°，
∵PI∥BC，
∴∠PHB=∠HPI，
∴∠DPI+∠APH+∠HPI=270°，
∵∠DPI+∠APH+∠HPI+∠APD=360°，
∴∠APD=90°，
∴AP⊥PD．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，圖形比較復雜，有一定難度，通過作輔助線，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵．