Question

16．如圖，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，點P從點A出發(fā)沿AB向點B移動（不與點A、B重合），一直到達點B為止；同時，點Q從點C出發(fā)沿CD向點D移動（不與點C、D重合）．
（1）若點P、Q均以3cm/s的速度移動，經(jīng)過多長時間四邊形BPDQ為菱形？
（2）若點P為3cm/s的速度移動，點Q以2cm/s的速度移動，經(jīng)過多長時間△DPQ為直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質可得出AB∥CD，再由點P、Q移動的速度相同即可得出四邊形BPDQ是平行四邊形，如要四邊形BPDQ是菱形只需BP=DP，設經(jīng)過xs，四邊形BPDQ是菱形，用x表示出BP、DP，由此即可得出關于x的一元二次方程，解方程即可得出結論；
（2）由∠PDQ≠90°可知△DPQ為直角三角形分兩種情況．①當∠DPQ=90°時，過點Q作QM⊥AB于M，利用勾股定理即可得出關于x的一元二次方程，解方程即可求出x值；②當∠DQP=90°時，則AP+CQ=16，由此可得出關于x的一元一次方程，解方程即可得出x值．綜上即可得出結論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∵點P、Q均以3cm/s的速度移動，
∴AP=CQ，
∴BP=DQ，
∴四邊形BPDQ是平行四邊形，
∴當BP=DP時，四邊形BPDQ是菱形．
設經(jīng)過xs，四邊形BPDQ是菱形，則有AP=3xcm，BP=（16-3x）cm，
由勾股定理得：DP²=（3x）²+6²，
∴DP²=（3x）²+6²=（16-3x）²，
解得：x=$\frac{55}{24}$．
答：經(jīng)過$\frac{55}{24}$s時四邊形BPDQ是菱形．
（2）∵點P不與點A重合，
∴∠PDQ≠90°，
∴△DPQ為直角三角形分兩種情況：
①當∠DPQ=90°時，△DPQ為直角三角形，過點Q作QM⊥AB于M，易得四邊形BCQM為矩形，如圖所示．
∵AP=3xcm，BM=CQ=2xcm，則PM=（16-5x）cm，DQ=（16-2x）cm，
∴（16-5x）²+6²+（3x）²+6²=（16-2x）²，
解得：x₁=2，x₂=$\frac{6}{5}$；
②當∠DQP=90°時，AP+CQ=16，
所以3x+2x=16，解得：x=$\frac{16}{5}$．
綜上可知：經(jīng)過2s、$\frac{6}{5}$s或$\frac{16}{5}$s時，△DPQ為直角三角形．

點評 本題考查了矩形的性質、勾股定理得逆定理以及菱形的判定，解題的關鍵是：（1）根據(jù)鄰邊相等找出關于x的一元二次方程；（2）分兩種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)菱形的判定、勾股定理得逆定理得出關于x的方程是關鍵．