Question

11．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+8（a≠0）與x軸交于A（-2，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，tan∠ABC=2．
（1）求拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)E、F，將拋物線沿其對稱軸向上平移m個(gè)單位，使拋物線與線段EF（含線段端點(diǎn)）只有1個(gè)公共點(diǎn)．求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由OC=8、tan∠ABC=2得點(diǎn)B坐標(biāo)，將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入求解可得；
（2）先求出直線CD解析式和點(diǎn)E、F坐標(biāo)，設(shè)平移后解析式為y=-（x-1）²+9+m，結(jié)合圖象根據(jù)拋物線與線段EF（含線段端點(diǎn)）只有1個(gè)公共點(diǎn)，求得臨界時(shí)m的值，從而得出答案，

解答 解：（1）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C（0，8），即 OC=8；
Rt△OBC中，OB=OC•tan∠ABC=8×$\frac{1}{2}$=4，
則點(diǎn)B（4，0）． 
將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+8=0}\\{16a+4b+8=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x²+2x+8，
∵y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，9）．



（2）設(shè)直線CD的表達(dá)式為y=kx+8，
∵點(diǎn)D（1，9），
∴直線CD表達(dá)式為y=x+8．
∵過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)E、F，
可得：E（-2，6），F(xiàn)（4，12）．
設(shè)拋物線向上平移m個(gè)單位長度（m＞0），

則拋物線的表達(dá)式為：y=-（x-1）²+9+m；
當(dāng)拋物線過E（-2，6）時(shí)，m=6，
當(dāng)拋物線過F（4，12）時(shí)，m=12，
∵拋物線與線段EF（含線段端點(diǎn)）只有1個(gè)公共點(diǎn)，
∴m的取值范圍是6＜m≤12．

點(diǎn)評 本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及拋物線與直線的交點(diǎn)問題，利用圖象與線段只有一個(gè)交點(diǎn)得出臨界是m的值是解題關(guān)鍵