Question

15．CD是經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB．E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上．
①如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°，則BE=CF；
②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋�(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件∠α+∠ACB=180°，使①中的結(jié)論仍然成立，并說明理由．
（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段間數(shù)量關(guān)系的合理猜想：EF=BE+AF．

Answer 1

分析 （1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可

解答 解：（1）①如圖1中，

E點(diǎn)在F點(diǎn)的左側(cè)，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BEC=∠AFC=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠ACF}\\{∠BEC=AFC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，
故答案為=．

②∠α+∠ACB=180°時(shí)，①中的結(jié)論仍然成立；
證明：如圖2中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠ACF}\\{∠BEC=∠AEC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，
故答案為∠α+∠ACB=180°．

（2）EF=BE+AF．
理由是：如圖3中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，
∴∠EBC=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠FCA}\\{∠BEC=∠CFA}\\{BC=CA}\end{array}\right.$
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF=CE，BE=CF，
∵EF=CE+CF，
∴EF=BE+AF，
故答案為：EF=BE+AF．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，注意這類題目圖形發(fā)生變化，結(jié)論基本不變，證明方法完全類似，屬于中考�？碱}型．