Question

15．如圖，在△ABC中，AB=AC，點P是邊BC上任意一點，求證：AB²-AP²=BP•CP．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，則∠ADB=∠ADP=90°，由勾股定理得AB²=AD²+BD²，AP²=AD²-DP²，得出AB²-AP²=BD²-DP²=（BD+DP）（BD-DP），再由等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD，即可得出結(jié)論．

解答 證明：作AD⊥BC于D，如圖所示：
則∠ADB=∠ADP=90°，
∴AB²=AD²+BD²，AP²=AD²-DP²，
∴AB²-AP²=BD²-DP²=（BD+DP）（BD-DP）=BP（BD-DP），
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴AB²-AP²=BP（BD-DP）=BP（CD-DP）=BP•CP．

點評 本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、平方差公式；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，運用勾股定理和平方差公式進行計算是解決問題的關(guān)鍵．