Question

8．如圖，點(diǎn)B、O、C在同一直線(xiàn)上，OA=OB=OC=1，OA⊥BC，點(diǎn)P是線(xiàn)段AC上任意一點(diǎn)，連接BP交OA于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OC于點(diǎn)F．
（1）如果CF=0.6，求OD的長(zhǎng)度；
（2）連接DF，當(dāng)CF取何值時(shí)，△DFP的面積取得最大值，并求出△DFP的面積的最大值，這時(shí)作PG⊥PD交線(xiàn)段BC于點(diǎn)G，證明：PD=PG．
（3）線(xiàn)段DP繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M剛好落在線(xiàn)段OC上，求FC的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)OD∥PF得：△BDO∽△BPF，列比例式可求得OD的長(zhǎng)；
（2）如圖2，設(shè)FC=x，則OF=1-x，PF=x，代入S_△PDF=$\frac{1}{2}$PF•OF中，得二次函數(shù)，配方后求最值；再計(jì)算此時(shí)PD和PG的長(zhǎng)相等即可；
（3）如圖3，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建全等三角形，證明△PDN≌△DMO，設(shè)FC=x，則OF=1-x，PN=OD=1-x，表示DN=2x-1，根據(jù)△BOD∽△BFP，列比例式可得方程：x²-4x+2=0，解出即可．

解答 解：（1）如圖1，∵OA⊥BC，
∴∠AOC=90°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∵PF⊥FC，
∴△PFC是等腰直角三角形，
∴PF=FC=0.6，
∵OC=1，
∴OF=OC-FC=1-0.6=0.4，
∵AO∥PF，
∴△BDO∽△BPF，
∴$\frac{OD}{PF}=\frac{OB}{BF}$，
∴$\frac{OD}{0.6}=\frac{1}{1+0.4}$，
∴OD=$\frac{3}{7}$；

（2）如圖2，設(shè)FC=x，則OF=1-x，PF=x，
∴S_△PDF=$\frac{1}{2}$PF•OF=$\frac{1}{2}$x•（1-x）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{8}$，
即當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，S_△DFP有最大值為$\frac{1}{8}$，此時(shí)FC=$\frac{1}{2}$，
∴BF=$\frac{3}{2}$，PF=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：BP=$\sqrt{B{F}^{2}+P{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵DO∥PF，
∴$\frac{PD}{BP}=\frac{OF}{BF}$，
∴$\frac{PD}{\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}$，
∴PD=$\frac{\sqrt{10}}{6}$，
∵∠BPG=∠BFP=90°，∠PBF=∠PBF，
∴△PBF∽△GBP，
∴$\frac{PF}{PG}=\frac{BF}{BP}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}}{PG}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}$，
∴PG=$\frac{\sqrt{10}}{6}$，
∴PD=PG；

（3）如圖3，過(guò)P作PN⊥OA于N，
設(shè)FC=x，則OF=PN=AN=1-x，
∵∠MDP=90°，
∴∠NDP+∠ODM=90°，
∵∠DNP=∠DOM=90°，
∴∠NDP+∠DPN=90°，
∴∠ODM=∠DPN，
∵DM=PD，
∴△PDN≌△DMO，
∴PN=OD=1-x，
∴DN=ON-OD=x-PN=x-（1-x）=2x-1，
由（1）得：△BOD∽△BFP，
∴$\frac{BO}{BF}=\frac{OD}{PF}$，
∴$\frac{1}{2-x}=\frac{1-x}{x}$，
x²-4x+2=0，
x₁=2+$\sqrt{2}$（不符合題意，舍去），x₂=2-$\sqrt{2}$，
∴FC=2-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形的綜合題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定以及平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、一元二次方程的解、二次函數(shù)的最值問(wèn)題等，知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，第二問(wèn)利用三角形的面積公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題；第三問(wèn)有難度，構(gòu)建輔助線(xiàn)是關(guān)鍵．